[선형대수] 예시로 보는 행렬의 정의와 성질

행렬의 기본 정의

• 행 : 행렬의 가로줄
• 열 : 행렬의 세로줄
• 차원 : 행렬의 크기는 행의 개수와 열의 개수를 이용하여 표기 (행의 개수) x (열의 개수)
• 원소 : 행렬을 구성하는 각각의 수 또는 변수
• 계수행렬 : 미지수 앞의 계수를 배열한 행렬
• 첨가행렬 : 계수행렬에 우변 행렬을 첨가한 행렬
• 행벡터 : 행으로 이루어진 벡터
• 열벡터 : 열로 이루어진 벡터
• (※ 벡터도 행렬이라는 것을 명심)
• 정방행렬 : 행과 열의 개수가 같은 행렬
• 장방행렬 : 행과 열의 개수가 다른 행렬
• 주대각선원소 : 행과 열이 같은 원소

행렬의 표현

$$ \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = p \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = q \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = r \end{cases} $$

 

$$ \begin{pmatrix} a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \end{pmatrix} $$

 

 

행렬의 덧셈 (Matrix Addition)

행렬의 덧셈은 같은 위치에 있는 원소들끼리 더하는 것입니다. 예를 들어, 두 개의 2x2 행렬 A와 B가 있을 때, 이들을 더하는 과정은 다음과 같습니다

 

$$
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}
$$

 

이 때, 두 행렬의 합인 C는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

 

$$
C = A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}
$$

 

행렬의 뺄셈 (Matrix Subtraction)

행렬의 뺄셈도 덧셈과 마찬가지로 같은 위치에 있는 원소들끼리 빼는 것입니다. 위에서 사용한 두 개의 행렬 A와 B를 이용하여 행렬의 뺄셈을 나타내면 다음과 같습니다.

 

$$
C = A - B = \begin{bmatrix} a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} \\ a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} \end{bmatrix}
$$

 

행렬의 곱셈 (Matrix Multiplication)

행렬의 곱셈은 다소 복잡합니다. 두 행렬 A와 B의 곱셈은 첫 번째 행렬의 행과 두 번째 행렬의 열을 사용하여 계산됩니다. 예를 들어, 두 개의 2x2 행렬 A와 B를 곱하는 과정은 다음과 같습니다.

 

$$
A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}
$$

 

행렬의 곱셈을 수행하여 새로운 행렬 C를 얻는 과정은 다음과 같습니다.

 

$$
C = A \times B = \begin{bmatrix} (a_{11} \times b_{11} + a_{12} \times b_{21}) & (a_{11} \times b_{12} + a_{12} \times b_{22}) \\ (a_{21} \times b_{11} + a_{22} \times b_{21}) & (a_{21} \times b_{12} + a_{22} \times b_{22}) \end{bmatrix}
$$

 

행렬의 곱셈에서는 주의해야 할 점이 있습니다.

두 행렬을 곱할 때, 첫 번째 행렬의 열 수와 두 번째 행렬의 행 수가 같아야 합니다. 그렇지 않으면 곱셈이 불가능합니다.